Гидродинамика идеальной жидкости

12

Модель идеальной жидкости предполагает отсутствие сил внутреннего трения. Основным уравнением динамики идеальной жидкости является уравнение Эйлера:

(20)

В некоторых случаях уравнение (20) может быть проинтегри­ровано. Предположим, что течение стационарное, массовая сила F

консервативна и жидкость баротропна. Тогда справедлив так назы­ваемый интеграл Бернулли:

= const,

где U - потенциал массовой силы, а Р может иметь вид (17), (18) или (19), в зависимости от исследуемого течения.

Рассмотрим решение задач по гидродинамике идеальной жид­кости.

Задача 4. Цилиндрический сосуд, заполненный жидкостью с плотностью = 2 кг/ , двигается поступательно с ускорени­ем а =3 м/ , составляющим угол = 30° с горизонтом. Опреде­лить распределение давления в жидкости, а также уравнение сво­бодной поверхности, считая, что жидкость находится в равновесии, объем жидкости 1.2 , площадь основания сосуда S = 0.79 , давление на свободной поверхности =100 кН/ .

Рис. 3.

Решение. Расположим оси декартовой системы координат так, чтобы вектор ускорения а лежал в плоскости Oyz. Т. к. нам нужно определить давление, запишем уравнение (20) в виде

-grad p =

р = а = p(a cos a sin k)= j + 3 • k ,

Запишем уравнения движения в координатном виде:

Таким образом, давление можно найти, вычислив криволиней­ный интеграл

=-15.59

где С - произвольная постоянная. На свободной поверхности, уравнение которой нам также надо найти, давление р = = Н/ . Подставим это в полученное выражение.

-15.59 • у - 32.4 z + С = ,

Мы получили уравнение свободной поверхности в виде урав­нения плоскости с точностью до произвольной постоянной. Зай­мемся теперь определением произвольной постоянной. Ее можно найти из условия, что объем жидкости при движении остается не­изменным. Вычислим объем с помощью двойного интеграла. Най­дем радиус основания сосуда.

Тогда

Подставляя значения V и R, получим, что С = 149.22 • .

Теперь можем записать окончательные выражения для функ­ции давления и для уравнения свободной поверхности.

р = -15.59 • 103у -32.4 z +149.22 • ,

z = -0.48 у + 1.52.

Задача 5. Цилиндрический сосуд с радиусом основания R=25 см заполнен жидкостью с плотностью = 2 • кг/ . Объем жидкости 1.4 . Сосуд вращается вокруг вертикальной оси с угло­вой скоростью 4 1/с. Определить распределение давления в сосуде и уравнение свободной поверхности, считая, что давление на по­верхности жидкости =100 кН/ .



Рис. 4.

Решение. Снова воспользуемся уравнением (20). По определе­нию, скорость при вращении равна

Тогда

.

Аналогично предыдущей задаче, запишем уравнение (20) в ко­ординатном виде

Т.к. давление на свободной поверхности известно, можем запи­сать уравнение свободной поверхности

Это уравнение параболоида. Определим произвольную посто­янную из условия сохранения объема.

Подставляя значения V и R, получим, что С = 239.25- . В результате можем записать

p = 16 ( ) - 19.6 z + 239.25 ,

z = 0.82 + 7.1.

Задача 6. Определить силу действия атмосферного вихря на здание шириной 4 м, если циркуляция скорости в этом вихре Г = 3.1 - /с, плотность воздуха =1.235 кг/ , а расстоя­ние от здания до центра вихря 50 м. Площадь стены здания, обра­щенной к вихрю, равна 310 м . Среду считать несжимаемой.

Рис. 5.

Решение. Запишем интеграл Бернулли в этом случае

По условию задачи сохраняет постоянное значение. Кон­станту в правой части равенства можно выразить через значения скорости и давления на бесконечности. Тогда

(23)

Очевидно, = 0. Скорость v на расстоянии г от центра вих­ря вычисляется по формуле v = Таким образом

Стены здания находятся на расстоянии 50 м и 54 м от центра вихря. Давление на них, согласно формуле, будет

Результирующая сила давления равна

где S - площадь стены здания. Проведя вычисления, получим

R = 26.23 кН.

Задача 7. Газ плотностью = 1.16 кг/ находится в радиаль­ном цилиндрически симметричном движении в слое высотой 1 км. Определить распределение давления в зависимости от расстояния r и потока (расхода) воздуха Q , если = 98 кН/ . Среду считать несжимаемой.

Рис. 6.

Решение. Запишем интеграл Бернулли в виде (23). В нашем случае

Подставив эти выражения в (23) и выразив давление p, полу­чим

Литература

[2] с. 48-153, с. 110-117, с. 144- 175, [3] с. 143 - 148,

[4] с. 88-99, с. 106- 110, с. 158- 162, [5] с. 160- 165.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Ниже приведены варианты контрольной работы, обозначенные буквами в алфавитном порядке. Студент выполняет вариант с той буквой, на которую начинается его фамилия.

1. Определение характера движения среды.

Для плоского поля скоростей v( ) определить

1) линию тока и траекторию, проходящие через точку А в мо­мент времени t = 0;

2) тензор скоростей деформации и сжимаемость среды;

3) поле вихря;

4) ускорение точек среды.

A. , A(l,-l).

Б. , A(l, 1/6).

B. , A(l/4,0).

Г. =-4y + sin t, = 2 x, A(l/7, 0).

Д. = 3x-l, =2t-5, A(0,0).

E. =2x + , =4y-t, A(-3/4,1/16).

Ж. =x + , =5y, A(l,l).

3. = -y, =4x + sin t, A(0, -1/3).

И. = 6 у - , =-x + t, A(0, 5/42).

K. = x-t, =t + l A (l, 1).

Л. = -2y, = 5 x + 3sin t, A(0,1/3).

M. =x + 2t, =2y-3 +4t, A(-2, 5/8).

H. =5x, = y- , A(l, 1).

O. =-y + 3sint, =2x, A(-1,0).

П. = y + t, =-2x, A(l/2,0).

P. =x + 3 , = +3, A (0, 0).

C. = , = 6 x, A (l/6,0).

T. = 8x, = 4y-5t, A(l,5/16).

У. =6x-t, = y, A(l/36,1).

Ф. =2y + /2, =-x, A(0,1/4).

X. = 3y-2t, =3x, A(2/9,0).

Ц. = 4x-t, =cost, A(l/16,0).

Ч. =x + 2t, = y-3t, A(-2, 3).

Ш. = 3x-2, =y, A(l, 1).

Щ. = 3y-t, = 5x, A(l/15,0).

Э. = 7y, =-x + , A(7/8,1/8).

Ю. = x- , = 2t+ 1, A(2,1).

Я. = x- , =7y, A(0,1).

2. Потенциал скорости и функция тока

По известному потенциалу φ найти функцию тока ψ.

А. φ = xy. П. φ =

Б. φ = - Р. φ =

В. φ = С. φ = xy-8y.

Г. φ = Т. φ = -x( ).

Д. φ = 3x-2y. У. φ = x-xy

Е. φ = Ф. φ = x-10y.

Ж. φ = 6 Х. φ = 4x-y.

З. φ = x+2y. Ц. φ = x

И. φ = 2x Ч. φ = x-y.

К. φ = Ш. φ = 3x+y.

Л. φ = x+2xy. Щ. φ = xy+2y.

М. φ = Э. φ =

Н. φ = 3xy+4. Ю. φ = 11x+2y.

О. φ = 8x+5y Я. φ= 7x .

3. Гидростатика.

Вычислить давление р на высоте z , если задано давление на высоте , плотность и указана зависимость между плотно­стью и давлением (p=const, изотермический процесс или адиаба­тический процесс).

A. - 22 кН/ , = 0 , = 1.2 кг/ , z = 2 м, ρ = const.

Б. = 12 кН/ , = 6 м, = 1.35 кг/ , γ =1.4, z = 15 м, адиа­батический процесс.

B. =30 кН/ , =0, =2.1 кг/ , γ = 1.6, z = 1.5 км,

адиабатический процесс.

Г. =40 кН/ , = 15 м, =2 кг/ , z =300 м, изотермиче­ский процесс.

Д. =35 кН/ , 0, = 1.3 кг/ , z = 115 м, изотермический процесс.

Е. =21 кН/ , =3 км, =2.3 кг/, γ = 1.7, z=3.5 км, адиабатический процесс.

Ж. = 40 кН/ , = 0, = 1.2 кг/ , z = 10 км, изотермиче­ский процесс.

3. = 33 кН/ , = 1 км, = 1.8 кг/ , z = 2 км, ρ = const.

И. = 19 кН/ , =2 м, = 1.9 кг/ , z =4 м, ρ = const.

К. =38 кН/ , = Ю м, =2 кг/ , γ = 1.2, z =65 м, адиаба­тический процесс.

Л. =46 кН/ , =0, = 1.3 кг/, z = 3.5 м, ρ = const.

М. =21 кН/ , =0, = 1.2 кг/ , γ = 1.4, z =2 км, адиабатический процесс.

Н. =20 кН/ , - 2 км, = 1.8 кг/ , z = 6 км, изотермиче­ский процесс.

О. =29 кН/ , =4 м, = 1.9 кг/, z =200 м, изотермиче­ский процесс.

П. = 80 кН/ , = 2 км, = 2.4 кг/ , z = 5 км, ρ = const.

Р. = 40 кН/ , = 0, = 1.3 кг/ , γ = 1.8, z = 142 м, адиаба­тический процесс.

С. = 10 кН/, = 2 м. = 1.35 кг/ , z = 5 м, ρ = const.

Т. =25 кН/ , =3 км, = 1.8 кг/ , γ = 1.6, z = 5 км, адиа­батический процесс.

У. = 15 кН/ , =2 м, = 1.9 кг/ , γ = 1.2, z =40 м, адиабатический процесс.

Ф. = 43 кН/, = 6 км, = 2.4 кг/ , z = 12 км, изотермиче­ский процесс.

X. =77 кН/ , =3 км, =2.4 кг/ , γ = 1.8, z = 5 км, адиа­батический процесс.

Ц. = 64 кН/ , = 1 км, = 2.3 кг/ , z = 2 км, ρ = const.

Ч. = 42 кН/, = 6 м, = 1.35 кг/ z = 100 м, изотермиче­ский процесс.

Ш. = 27 кН/ , = 0, = 2.1 кг/ , z = 3 м, ρ = const.

Щ. =35 кН/ , =0, =2.1 кг/ , z = 1 км, изотермический процесс.

Э. = 34 кН/, = 10 м, = 2 кг/ , z = 15 м, ρ = const.

Ю. =45 кН/ , =4 км, =2.3 кг/ , z =6.6 км, изотерми­ческий процесс.

Я. =41.5 кН/ , =0, = 1.43 кг/ , z =450 м, ρ = const.

4. Уравнение движения идеальной жидкости.

Некоторый цилиндрический резервуар, заполненный жидко­стью с плотностью ρ, двигается поступательно с ускорением а.

Определить распределение давления в жидкости, а также уравнение свободной поверхности, считая, что жидкость находится в относи­тельном равновесии, объем жидкости V , радиус круга в основании R , давление на свободной поверхности , ускорение а составля­ет угол ψ с горизонтом (см. рис. 3).

A. =98 кН/ , V = 1 , R = 10 см, ρ = кг/ , а =2 м/ ,ψ =30°.

Б. =90 кН/ , V = 1 , R =27 см, ρ = кг/ , а=2.6 м/ , ψ =45°.

B. =93 кН/ , V =2 , R = 54 см, ρ = 1.2 · кг/ ,а = 1.4 м/ , ψ =30°.

Г. = 100 кН/ , V =2 , R = 45 см, ρ = 2· кг/ ,а = 1.4 м/ , ψ = 45°.

Д. =95 кН/ , V = 1 , R = 15 см, ρ = 2· кг/ ,а = 1.6 м/ , ψ = 30°.

Е. =96 кН/ , V = 1.4 , R =25 см, ρ = 2· кг/ ,а =2.7 м/ , ψ = 30°.

Ж. = 100 кН/ , V = 1.5 , R =30 см, ρ = 1.9· кг/ ,а =2.4 м/ , ψ = 60°.

З. =94 кН/ , V = 1.3 R =22 см, ρ = кг/ , а = 1.7 м/ ,ψ = 30°.

И. =97.6 кН/ , V = 1.2 , R =26 см, ρ = 1.4· кг/ ,а =2.7 м/ , ψ = 60°.

К. =99.5 кН/ , V = 1.2 , R = 20 см, ρ = 1.7· кг/ ,а=2 м/ , ψ = 30°.

Л. = 100 кН/ , V = 1.7 , R=40 см, ρ = 1.2· кг/ ,а = 1.8м/ , ψ = 45".

М. = 102 кН/ , V = 1.6 , R = 50 см, ρ = 2· кг/ ,а = 1 м/ , ψ = 60°.

Н. =98.5 кН/ , V = 1.7 , R = 23 см, ρ = 1.3· кг/ , а=2м/ , ψ = 45°.

О. = 102.7 кН/ , V = 1.9 R = 18 см, ρ = 2· кг/ а = 1 м/ , ψ = 60°.

Цилиндрический сосуд с радиусом основания R заполнен жидкостью с плотностью ρ. Объем жидкости V . Сосуд вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Определить рас­пределение давления в сосуде и уравнение свободной поверхности. Давление на поверхности жидкости равно (см. рис. 4).

П. =98 кН/ , V = 1 , R = 10см, ρ = кг/ , ω =23 1/с.

Р. = 100 кН/ , V = 1.5 , R = 30 см, ρ = 1.9· кг/ , ω =2.4 1/с.

С. =94кН/ , V = 1.3 , R = 22см, ρ = кг/ , ω = 2.7 1/с.

Т. = 102.7 кН/ , V = 1.9 , R = 18 см, ρ = 2· кг/ , ω =3.1 1/с.

У. =96кН/ , V = 1.4 , R =25 см, ρ = 2· кг/ , ω =4 1/с.

Ф. = Ш кН/ , V = 1.6 , R = 50 см, ρ = 2· кг/ , ω =3 1/с.

X. = 100 кН/ , V =2 , R = 45 см, ρ = 2 · кг/ , ω = 1.8 1/с.

Ц. =99.5 кН/ , V = 1.2 , R = 20 см, ρ = 1.7 · кг/ , ω =3 1/с.

Ч. =90кН/ , V = 1 , R = 27см, ρ = кг/ , ω =2.6 1/с.

Ш. =98.5 кН/ , V = 1.7 , R = 23 см, ρ = 1.3 · кг/ , ω =2 1/с.

Щ. =95 кН/ , V = 1 , R = 15 см, ρ = 2 · кг/ , ω =2.8 1/с.

Э. = 100 кН/ , V = 1.7 , R = 40 см, ρ = 1.2· кг/ , ω =2.2 1/с.

Ю. =93 кН/ , V =2 , R = 54 см, ρ = 1.2 · кг/ , ω =3.2 1/с.

Я. =97.6 кН/ , V = 1.2 , R = 26 см, ρ = 1.4· кг/ , ω =2.2 1/с.

5. Уравнение Бернулли.

Определить давление и плотность газа в точке 1 при обтекании тела, если задана - скорость относительно тела, и - дав­ление и плотность на бесконечности. Обтекание считать адиабати­ческим процессом.

Рис. 7.

А. =105 кН/ , =1,3кг/ , =50 м/с.

Б. =100 кН/ , =1,2 кг/ , =59 м/с.

В. =102 кН/ , =1,12 кг/ =64 м/с.

Г. =110 кН/ , =1,4 кг/ , =52 м/с.

Д. =108,7 кН/ =1,3 кг/ , =58 м/с.

Е. =103,5 кН/ , =1,14 кг/ =55 м/с.

Ж. =104,2 кН/ , =1,41 кг/ , =62 м/с.

Воздух находится в радиальном цилиндрически симметричном движении в слое высотой h . Определить распределение давления в атмосфере в зависимости от расстояния r и потока (расхода) воз­духа Q, если задана высота h, давление и плотность на бесконеч­ности . Среду считать несжимаемой (см. рис. 6).

3. = 97кН/ , = 1.3 кг/ , h = 2 км.

И. =96.7 кН/ , = 1.41 кг/ , h =2.4 км.

К. =95,6 кН/ , = 1.35 кг/ ,h = 1.8 км.

Л. =100 кН/ , = 1.18 кг/ ,h=0.7 км.

М. =98,2 кН/ , = 1.24 кг/ , h= 2.1 км.

Н. =95 кН/ , = 1.28 кг/ ,h=1.12 км.

О. =94,3 кН/ , = 1.37 кг/ , h= 0.8 км.

Как меняется давление на дне резервуара в зависимости от рас­стояния до центра стока r и потока жидкости Q, если при устано­вившемся движении скорость жидкости имеет радиальное сфериче­ски симметричное направление. Среду считать несжимаемой, дав­ление и плотность на бесконечности .

П. = 100кН/ , ρ = 1,3· кг/ .

Р. = 107,4кН/ , ρ = 1,45· кг/ .

С. = 100кН/ , ρ = 1,28· кг/ .

Т. = 105кН/ , ρ = 1,24· кг/ .

У. = 103,6кН/ , ρ = 1,17· кг/ .

Ф. = 101,2кН/ , ρ = 1,67· кг/ .

Х. = 104кН/ , ρ = 1,57· кг/ .

Определить силу действия атмосферного вихря на здание ши­риной h и площадью поперечного сечения S, если расстояние от здания до центра вихря 50 м. Циркуляция скорости в вихре Г, плотность воздуха ρ = 1.235 кг/ . Среду считать несжимаемой (см. рис. 5).

Ц. Г= , S=300 , h=7м.

Ч. Г= , S=400 , h=5м.

Ш. Г= S=293 , h=5.5м.

Щ. Г= , S=365 , h=3.5м.

Э. Г= , S=410 , h=7м.

Ю. Г= , S=380 , h=2м.

Я. Г= , S=370 , h=6.3м.


7748992194192705.html
7749045064310820.html
    PR.RU™