Модель идеальной жидкости предполагает отсутствие сил внутреннего трения. Основным уравнением динамики идеальной жидкости является уравнение Эйлера:
(20)
В некоторых случаях уравнение (20) может быть проинтегрировано. Предположим, что течение стационарное, массовая сила F
консервативна и жидкость баротропна. Тогда справедлив так называемый интеграл Бернулли:
= const,
где U - потенциал массовой силы, а Р может иметь вид (17), (18) или (19), в зависимости от исследуемого течения.
Рассмотрим решение задач по гидродинамике идеальной жидкости.
Задача 4. Цилиндрический сосуд, заполненный жидкостью с плотностью = 2 кг/ , двигается поступательно с ускорением а =3 м/ , составляющим угол = 30° с горизонтом. Определить распределение давления в жидкости, а также уравнение свободной поверхности, считая, что жидкость находится в равновесии, объем жидкости 1.2 , площадь основания сосуда S = 0.79 , давление на свободной поверхности =100 кН/ .
Рис. 3.
Решение. Расположим оси декартовой системы координат так, чтобы вектор ускорения а лежал в плоскости Oyz. Т. к. нам нужно определить давление, запишем уравнение (20) в виде
-grad p =
р = а = p(a cos a sin k)= j + 3 • k ,
Запишем уравнения движения в координатном виде:
Таким образом, давление можно найти, вычислив криволинейный интеграл
=-15.59
где С - произвольная постоянная. На свободной поверхности, уравнение которой нам также надо найти, давление р = = Н/ . Подставим это в полученное выражение.
-15.59 • у - 32.4 z + С = ,
Мы получили уравнение свободной поверхности в виде уравнения плоскости с точностью до произвольной постоянной. Займемся теперь определением произвольной постоянной. Ее можно найти из условия, что объем жидкости при движении остается неизменным. Вычислим объем с помощью двойного интеграла. Найдем радиус основания сосуда.
Тогда
Подставляя значения V и R, получим, что С = 149.22 • .
Теперь можем записать окончательные выражения для функции давления и для уравнения свободной поверхности.
р = -15.59 • 103у -32.4 z +149.22 • ,
z = -0.48 у + 1.52.
Задача 5. Цилиндрический сосуд с радиусом основания R=25 см заполнен жидкостью с плотностью = 2 • кг/ . Объем жидкости 1.4 . Сосуд вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 4 1/с. Определить распределение давления в сосуде и уравнение свободной поверхности, считая, что давление на поверхности жидкости =100 кН/ .
Рис. 4.
Решение. Снова воспользуемся уравнением (20). По определению, скорость при вращении равна
Тогда
.
Аналогично предыдущей задаче, запишем уравнение (20) в координатном виде
Т.к. давление на свободной поверхности известно, можем записать уравнение свободной поверхности
Это уравнение параболоида. Определим произвольную постоянную из условия сохранения объема.
Подставляя значения V и R, получим, что С = 239.25- . В результате можем записать
p = 16 ( ) - 19.6 z + 239.25 ,
z = 0.82 + 7.1.
Задача 6. Определить силу действия атмосферного вихря на здание шириной 4 м, если циркуляция скорости в этом вихре Г = 3.1 - /с, плотность воздуха =1.235 кг/ , а расстояние от здания до центра вихря 50 м. Площадь стены здания, обращенной к вихрю, равна 310 м . Среду считать несжимаемой.
Рис. 5.
Решение. Запишем интеграл Бернулли в этом случае
По условию задачи сохраняет постоянное значение. Константу в правой части равенства можно выразить через значения скорости и давления на бесконечности. Тогда
(23)
Очевидно, = 0. Скорость v на расстоянии г от центра вихря вычисляется по формуле v = Таким образом
Стены здания находятся на расстоянии 50 м и 54 м от центра вихря. Давление на них, согласно формуле, будет
Результирующая сила давления равна
где S - площадь стены здания. Проведя вычисления, получим
R = 26.23 кН.
Задача 7. Газ плотностью = 1.16 кг/ находится в радиальном цилиндрически симметричном движении в слое высотой 1 км. Определить распределение давления в зависимости от расстояния r и потока (расхода) воздуха Q , если = 98 кН/ . Среду считать несжимаемой.
Рис. 6.
Решение. Запишем интеграл Бернулли в виде (23). В нашем случае
Подставив эти выражения в (23) и выразив давление p, получим
Литература
[2] с. 48-153, с. 110-117, с. 144- 175, [3] с. 143 - 148,
[4] с. 88-99, с. 106- 110, с. 158- 162, [5] с. 160- 165.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Ниже приведены варианты контрольной работы, обозначенные буквами в алфавитном порядке. Студент выполняет вариант с той буквой, на которую начинается его фамилия.
1. Определение характера движения среды.
Для плоского поля скоростей v( ) определить
1) линию тока и траекторию, проходящие через точку А в момент времени t = 0;
2) тензор скоростей деформации и сжимаемость среды;
3) поле вихря;
4) ускорение точек среды.
A. , A(l,-l).
Б. , A(l, 1/6).
B. , A(l/4,0).
Г. =-4y + sin t, = 2 x, A(l/7, 0).
Д. = 3x-l, =2t-5, A(0,0).
E. =2x + , =4y-t, A(-3/4,1/16).
Ж. =x + , =5y, A(l,l).
3. = -y, =4x + sin t, A(0, -1/3).
И. = 6 у - , =-x + t, A(0, 5/42).
K. = x-t, =t + l A (l, 1).
Л. = -2y, = 5 x + 3sin t, A(0,1/3).
M. =x + 2t, =2y-3 +4t, A(-2, 5/8).
H. =5x, = y- , A(l, 1).
O. =-y + 3sint, =2x, A(-1,0).
П. = y + t, =-2x, A(l/2,0).
P. =x + 3 , = +3, A (0, 0).
C. = , = 6 x, A (l/6,0).
T. = 8x, = 4y-5t, A(l,5/16).
У. =6x-t, = y, A(l/36,1).
Ф. =2y + /2, =-x, A(0,1/4).
X. = 3y-2t, =3x, A(2/9,0).
Ц. = 4x-t, =cost, A(l/16,0).
Ч. =x + 2t, = y-3t, A(-2, 3).
Ш. = 3x-2, =y, A(l, 1).
Щ. = 3y-t, = 5x, A(l/15,0).
Э. = 7y, =-x + , A(7/8,1/8).
Ю. = x- , = 2t+ 1, A(2,1).
Я. = x- , =7y, A(0,1).
2. Потенциал скорости и функция тока
По известному потенциалу φ найти функцию тока ψ.
А. φ = xy. П. φ =
Б. φ = - Р. φ =
В. φ = С. φ = xy-8y.
Г. φ = Т. φ = -x( ).
Д. φ = 3x-2y. У. φ = x-xy
Е. φ = Ф. φ = x-10y.
Ж. φ = 6 Х. φ = 4x-y.
З. φ = x+2y. Ц. φ = x
И. φ = 2x Ч. φ = x-y.
К. φ = Ш. φ = 3x+y.
Л. φ = x+2xy. Щ. φ = xy+2y.
М. φ = Э. φ =
Н. φ = 3xy+4. Ю. φ = 11x+2y.
О. φ = 8x+5y Я. φ= 7x .
3. Гидростатика.
Вычислить давление р на высоте z , если задано давление на высоте , плотность и указана зависимость между плотностью и давлением (p=const, изотермический процесс или адиабатический процесс).
A. - 22 кН/ , = 0 , = 1.2 кг/ , z = 2 м, ρ = const.
Б. = 12 кН/ , = 6 м, = 1.35 кг/ , γ =1.4, z = 15 м, адиабатический процесс.
B. =30 кН/ , =0, =2.1 кг/ , γ = 1.6, z = 1.5 км,
адиабатический процесс.
Г. =40 кН/ , = 15 м, =2 кг/ , z =300 м, изотермический процесс.
Д. =35 кН/ , 0, = 1.3 кг/ , z = 115 м, изотермический процесс.
Е. =21 кН/ , =3 км, =2.3 кг/, γ = 1.7, z=3.5 км, адиабатический процесс.
Ж. = 40 кН/ , = 0, = 1.2 кг/ , z = 10 км, изотермический процесс.
3. = 33 кН/ , = 1 км, = 1.8 кг/ , z = 2 км, ρ = const.
И. = 19 кН/ , =2 м, = 1.9 кг/ , z =4 м, ρ = const.
К. =38 кН/ , = Ю м, =2 кг/ , γ = 1.2, z =65 м, адиабатический процесс.
Л. =46 кН/ , =0, = 1.3 кг/, z = 3.5 м, ρ = const.
М. =21 кН/ , =0, = 1.2 кг/ , γ = 1.4, z =2 км, адиабатический процесс.
Н. =20 кН/ , - 2 км, = 1.8 кг/ , z = 6 км, изотермический процесс.
О. =29 кН/ , =4 м, = 1.9 кг/, z =200 м, изотермический процесс.
П. = 80 кН/ , = 2 км, = 2.4 кг/ , z = 5 км, ρ = const.
Р. = 40 кН/ , = 0, = 1.3 кг/ , γ = 1.8, z = 142 м, адиабатический процесс.
С. = 10 кН/, = 2 м. = 1.35 кг/ , z = 5 м, ρ = const.
Т. =25 кН/ , =3 км, = 1.8 кг/ , γ = 1.6, z = 5 км, адиабатический процесс.
У. = 15 кН/ , =2 м, = 1.9 кг/ , γ = 1.2, z =40 м, адиабатический процесс.
Ф. = 43 кН/, = 6 км, = 2.4 кг/ , z = 12 км, изотермический процесс.
X. =77 кН/ , =3 км, =2.4 кг/ , γ = 1.8, z = 5 км, адиабатический процесс.
Ц. = 64 кН/ , = 1 км, = 2.3 кг/ , z = 2 км, ρ = const.
Ч. = 42 кН/, = 6 м, = 1.35 кг/ z = 100 м, изотермический процесс.
Ш. = 27 кН/ , = 0, = 2.1 кг/ , z = 3 м, ρ = const.
Щ. =35 кН/ , =0, =2.1 кг/ , z = 1 км, изотермический процесс.
Э. = 34 кН/, = 10 м, = 2 кг/ , z = 15 м, ρ = const.
Ю. =45 кН/ , =4 км, =2.3 кг/ , z =6.6 км, изотермический процесс.
Я. =41.5 кН/ , =0, = 1.43 кг/ , z =450 м, ρ = const.
4. Уравнение движения идеальной жидкости.
Некоторый цилиндрический резервуар, заполненный жидкостью с плотностью ρ, двигается поступательно с ускорением а.
Определить распределение давления в жидкости, а также уравнение свободной поверхности, считая, что жидкость находится в относительном равновесии, объем жидкости V , радиус круга в основании R , давление на свободной поверхности , ускорение а составляет угол ψ с горизонтом (см. рис. 3).
A. =98 кН/ , V = 1 , R = 10 см, ρ = кг/ , а =2 м/ ,ψ =30°.
Б. =90 кН/ , V = 1 , R =27 см, ρ = кг/ , а=2.6 м/ , ψ =45°.
B. =93 кН/ , V =2 , R = 54 см, ρ = 1.2 · кг/ ,а = 1.4 м/ , ψ =30°.
Г. = 100 кН/ , V =2 , R = 45 см, ρ = 2· кг/ ,а = 1.4 м/ , ψ = 45°.
Д. =95 кН/ , V = 1 , R = 15 см, ρ = 2· кг/ ,а = 1.6 м/ , ψ = 30°.
Е. =96 кН/ , V = 1.4 , R =25 см, ρ = 2· кг/ ,а =2.7 м/ , ψ = 30°.
Ж. = 100 кН/ , V = 1.5 , R =30 см, ρ = 1.9· кг/ ,а =2.4 м/ , ψ = 60°.
З. =94 кН/ , V = 1.3 R =22 см, ρ = кг/ , а = 1.7 м/ ,ψ = 30°.
И. =97.6 кН/ , V = 1.2 , R =26 см, ρ = 1.4· кг/ ,а =2.7 м/ , ψ = 60°.
К. =99.5 кН/ , V = 1.2 , R = 20 см, ρ = 1.7· кг/ ,а=2 м/ , ψ = 30°.
Л. = 100 кН/ , V = 1.7 , R=40 см, ρ = 1.2· кг/ ,а = 1.8м/ , ψ = 45".
М. = 102 кН/ , V = 1.6 , R = 50 см, ρ = 2· кг/ ,а = 1 м/ , ψ = 60°.
Н. =98.5 кН/ , V = 1.7 , R = 23 см, ρ = 1.3· кг/ , а=2м/ , ψ = 45°.
О. = 102.7 кН/ , V = 1.9 R = 18 см, ρ = 2· кг/ а = 1 м/ , ψ = 60°.
Цилиндрический сосуд с радиусом основания R заполнен жидкостью с плотностью ρ. Объем жидкости V . Сосуд вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Определить распределение давления в сосуде и уравнение свободной поверхности. Давление на поверхности жидкости равно (см. рис. 4).
П. =98 кН/ , V = 1 , R = 10см, ρ = кг/ , ω =23 1/с.
Р. = 100 кН/ , V = 1.5 , R = 30 см, ρ = 1.9· кг/ , ω =2.4 1/с.
С. =94кН/ , V = 1.3 , R = 22см, ρ = кг/ , ω = 2.7 1/с.
Т. = 102.7 кН/ , V = 1.9 , R = 18 см, ρ = 2· кг/ , ω =3.1 1/с.
У. =96кН/ , V = 1.4 , R =25 см, ρ = 2· кг/ , ω =4 1/с.
Ф. = Ш кН/ , V = 1.6 , R = 50 см, ρ = 2· кг/ , ω =3 1/с.
X. = 100 кН/ , V =2 , R = 45 см, ρ = 2 · кг/ , ω = 1.8 1/с.
Ц. =99.5 кН/ , V = 1.2 , R = 20 см, ρ = 1.7 · кг/ , ω =3 1/с.
Ч. =90кН/ , V = 1 , R = 27см, ρ = кг/ , ω =2.6 1/с.
Ш. =98.5 кН/ , V = 1.7 , R = 23 см, ρ = 1.3 · кг/ , ω =2 1/с.
Щ. =95 кН/ , V = 1 , R = 15 см, ρ = 2 · кг/ , ω =2.8 1/с.
Э. = 100 кН/ , V = 1.7 , R = 40 см, ρ = 1.2· кг/ , ω =2.2 1/с.
Ю. =93 кН/ , V =2 , R = 54 см, ρ = 1.2 · кг/ , ω =3.2 1/с.
Я. =97.6 кН/ , V = 1.2 , R = 26 см, ρ = 1.4· кг/ , ω =2.2 1/с.
5. Уравнение Бернулли.
Определить давление и плотность газа в точке 1 при обтекании тела, если задана - скорость относительно тела, и - давление и плотность на бесконечности. Обтекание считать адиабатическим процессом.
Рис. 7.
А. =105 кН/ , =1,3кг/ , =50 м/с.
Б. =100 кН/ , =1,2 кг/ , =59 м/с.
В. =102 кН/ , =1,12 кг/ =64 м/с.
Г. =110 кН/ , =1,4 кг/ , =52 м/с.
Д. =108,7 кН/ =1,3 кг/ , =58 м/с.
Е. =103,5 кН/ , =1,14 кг/ =55 м/с.
Ж. =104,2 кН/ , =1,41 кг/ , =62 м/с.
Воздух находится в радиальном цилиндрически симметричном движении в слое высотой h . Определить распределение давления в атмосфере в зависимости от расстояния r и потока (расхода) воздуха Q, если задана высота h, давление и плотность на бесконечности . Среду считать несжимаемой (см. рис. 6).
3. = 97кН/ , = 1.3 кг/ , h = 2 км.
И. =96.7 кН/ , = 1.41 кг/ , h =2.4 км.
К. =95,6 кН/ , = 1.35 кг/ ,h = 1.8 км.
Л. =100 кН/ , = 1.18 кг/ ,h=0.7 км.
М. =98,2 кН/ , = 1.24 кг/ , h= 2.1 км.
Н. =95 кН/ , = 1.28 кг/ ,h=1.12 км.
О. =94,3 кН/ , = 1.37 кг/ , h= 0.8 км.
Как меняется давление на дне резервуара в зависимости от расстояния до центра стока r и потока жидкости Q, если при установившемся движении скорость жидкости имеет радиальное сферически симметричное направление. Среду считать несжимаемой, давление и плотность на бесконечности .
П. = 100кН/ , ρ = 1,3· кг/ .
Р. = 107,4кН/ , ρ = 1,45· кг/ .
С. = 100кН/ , ρ = 1,28· кг/ .
Т. = 105кН/ , ρ = 1,24· кг/ .
У. = 103,6кН/ , ρ = 1,17· кг/ .
Ф. = 101,2кН/ , ρ = 1,67· кг/ .
Х. = 104кН/ , ρ = 1,57· кг/ .
Определить силу действия атмосферного вихря на здание шириной h и площадью поперечного сечения S, если расстояние от здания до центра вихря 50 м. Циркуляция скорости в вихре Г, плотность воздуха ρ = 1.235 кг/ . Среду считать несжимаемой (см. рис. 5).
Ц. Г= , S=300 , h=7м.
Ч. Г= , S=400 , h=5м.
Ш. Г= S=293 , h=5.5м.
Щ. Г= , S=365 , h=3.5м.
Э. Г= , S=410 , h=7м.
Ю. Г= , S=380 , h=2м.
Я. Г= , S=370 , h=6.3м.